日本語 English
| 開講年度/ Academic YearAcademic Year |
20252025 |
| 科目設置学部/ CollegeCollege |
理学部/College of ScienceCollege of Science |
| 科目コード等/ Course CodeCourse Code |
CA456/CA456CA456 |
| テーマ・サブタイトル等/ Theme・SubtitleTheme・Subtitle |
楕円曲線論入門 |
| 授業形態/ Class FormatClass Format |
対面（全回対面）/Face to face (all classes are face-to-face)Face to face (all classes are face-to-face) |
| 授業形態（補足事項）/ Class Format (Supplementary Items)Class Format (Supplementary Items) |
|
| 授業形式/ Class StyleCampus |
講義/LectureLecture |
| 校地/ CampusCampus |
池袋/IkebukuroIkebukuro |
| 学期/ SemesterSemester |
春学期/Spring SemesterSpring Semester |
| 曜日時限・教室/ DayPeriod・RoomDayPeriod・Room |
火2/Tue.2 Tue.2 ログインして教室を表示する（Log in to view the classrooms.） |
| 単位/ CreditsCredits |
22 |
| 科目ナンバリング/ Course NumberCourse Number |
MAT3120 |
| 使用言語/ LanguageLanguage |
日本語/JapaneseJapanese |
| 履修登録方法/ Class Registration MethodClass Registration Method |
科目コード登録/Course Code RegistrationCourse Code Registration |
| 配当年次/ Assigned YearAssigned Year |
配当年次は開講学部のR Guideに掲載している科目表で確認してください。配当年次は開講学部のR Guideに掲載している科目表で確認してください。 |
| 先修規定/ Prerequisite RegulationsPrerequisite Regulations |
|
| 他学部履修可否/ Acceptance of Other CollegesAcceptance of Other Colleges |
履修登録システムの『他学部・他研究科履修不許可科目一覧』で確認してください。 |
| 履修中止可否/ Course CancellationCourse Cancellation |
〇（履修中止可/ Eligible for cancellation） |
| オンライン授業60単位制限対象科目/ Online Classes Subject to 60-Credit Upper LimitOnline Classes Subject to 60-Credit Upper Limit |
|
| 学位授与方針との関連/ Relationship with Degree PolicyRelationship with Degree Policy |
各授業科目は、学部・研究科の定める学位授与方針（DP）や教育課程編成の方針（CP）に基づき、カリキュラム上に配置されています。詳細はカリキュラム・マップで確認することができます。 |
| 備考/ NotesNotes |
The course gives an introduction into the theory of elliptic curves. The focus lies on rational and integral points of elliptic curves.
Elliptic curves are algebraic curves equipped with the structure of an abelian groups. They can be expressed as the solutions of an equation y^2+x^3+ax+b in the plane (plus one extra point). Elliptic curves are important in number theory and other fields of mathematics. For example, Wiles's proof of Fermat's last theorem uses elliptic curves, and they are used in cryptography and factoring algorithms.
In this lecture we give an introduction to elliptic curves and then focus on rational, integral points and points over finite fields. For example we proof the Mordell-Weil theorem, stating that the rational solutions form a finitely generated abelian group, and the Lutz-Nagell theorem, stating that there are only finitely many integer solutions.
| 1 | 同時座標と射影平面 |
| 2 | 射影平面における曲線 |
| 3 | ３次曲線における幾何学 |
| 4 | Weierstrassの標準形 |
| 5 | ３次曲線上の実点と複素点 |
| 6 | Nagell-Lutzの定理 |
| 7 | 高さと降下法 |
| 8 | Mordellの定理 |
| 9 | 特異３次曲線 |
| 10 | 有限体上の有理点 |
| 11 | 有限位数の点 |
| 12 | 楕円曲線と因数分解 |
| 13 | 整数点はどれくらいあるか？Thueの定理 |
| 14 | 最終テスト |
板書 /Writing on the Board
スライド（パワーポイント等）の使用 /Slides (PowerPoint, etc.)
上記以外の視聴覚教材の使用 /Audiovisual Materials Other than Those Listed Above
個人発表 /Individual Presentations
グループ発表 /Group Presentations
ディスカッション・ディベート /Discussion/Debate
実技・実習・実験 /Practicum/Experiments/Practical Training
学内の教室外施設の利用 /Use of On-Campus Facilities Outside the Classroom
校外実習・フィールドワーク /Field Work
上記いずれも用いない予定 /None of the above
詳細は別途指示する。
| 種類 (Kind) | 割合 (%) | 基準 (Criteria) |
|---|---|---|
| 平常点 (In-class Points) | 100 |
レポート(20％×3)(60%) 最終テスト(Final Test)(40%) |
| 備考 (Notes) | ||
| No | 著者名 (Author/Editor) | 書籍名 (Title) | 出版社 (Publisher) | 出版年 (Date) | ISBN/ISSN |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | J. H. シルヴァーマン , J. テイト | 『楕円曲線論入門』 | 丸善出版 | 2012 | 4621064533 |
| No | 著者名 (Author/Editor) | 書籍名 (Title) | 出版社 (Publisher) | 出版年 (Date) | ISBN/ISSN |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Silverman, JH | The Arithmetic of elliptic cuvers, 2nd edition | Springer | 2009 | 9780387094946 |
| 2 | Washington, LC | Elliptic Curves: Number Theory and Crypt. | Chapman and Hall | 2008 | 1420071467 |
| 3 | Milne, J | Elliptic curves | www.jmilne.org/ |
代数学の基礎(「群論入門」「代数学１・２」で習う程度の群論・環論・体論)とガロア理論の初歩は必須である。
楕円曲線の基本を学ぶ。具体例として，有理数点と整数点を中心に講義し，楕円曲線のより深い理解を目指す。
The course gives an introduction into the theory of elliptic curves. The focus lies on rational and integral points of elliptic curves.
楕円曲線とはアーベル群の構造を持つ代数曲線であり、y^2=x^3+ax^2+b で定義される平面代数曲線として表せる。楕円曲線は数論で重要で､ 現在研究されている主要な分野に多くの寄与がある。例えば､ ワイルズ-テイラーにより証明されたフェルマーの最終定理で使われ, 楕円暗号や素因数分解への応用が見つかっている。
この授業では楕円曲線を導入した後、楕円曲線上の有理点や整数点、および有限体上の点を中心に考察する。例えば、モーデル・ヴェイユの定理により、楕円曲線上の有理数点が有限生成アーベル群であり、整数点は有限個しか存在しないことが知られている。
Elliptic curves are algebraic curves equipped with the structure of an abelian groups. They can be expressed as the solutions of an equation y^2+x^3+ax+b in the plane (plus one extra point). Elliptic curves are important in number theory and other fields of mathematics. For example, Wiles's proof of Fermat's last theorem uses elliptic curves, and they are used in cryptography and factoring algorithms.
In this lecture we give an introduction to elliptic curves and then focus on rational, integral points and points over finite fields. For example we proof the Mordell-Weil theorem, stating that the rational solutions form a finitely generated abelian group, and the Lutz-Nagell theorem, stating that there are only finitely many integer solutions.
| 1 | 同時座標と射影平面 |
| 2 | 射影平面における曲線 |
| 3 | ３次曲線における幾何学 |
| 4 | Weierstrassの標準形 |
| 5 | ３次曲線上の実点と複素点 |
| 6 | Nagell-Lutzの定理 |
| 7 | 高さと降下法 |
| 8 | Mordellの定理 |
| 9 | 特異３次曲線 |
| 10 | 有限体上の有理点 |
| 11 | 有限位数の点 |
| 12 | 楕円曲線と因数分解 |
| 13 | 整数点はどれくらいあるか？Thueの定理 |
| 14 | 最終テスト |
板書 /Writing on the Board
スライド（パワーポイント等）の使用 /Slides (PowerPoint, etc.)
上記以外の視聴覚教材の使用 /Audiovisual Materials Other than Those Listed Above
個人発表 /Individual Presentations
グループ発表 /Group Presentations
ディスカッション・ディベート /Discussion/Debate
実技・実習・実験 /Practicum/Experiments/Practical Training
学内の教室外施設の利用 /Use of On-Campus Facilities Outside the Classroom
校外実習・フィールドワーク /Field Work
上記いずれも用いない予定 /None of the above
詳細は別途指示する。
| 種類 (Kind) | 割合 (%) | 基準 (Criteria) |
|---|---|---|
| 平常点 (In-class Points) | 100 |
レポート(20％×3)(60%) 最終テスト(Final Test)(40%) |
| 備考 (Notes) | ||
| No | 著者名 (Author/Editor) | 書籍名 (Title) | 出版社 (Publisher) | 出版年 (Date) | ISBN/ISSN |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | J. H. シルヴァーマン , J. テイト | 『楕円曲線論入門』 | 丸善出版 | 2012 | 4621064533 |
| No | 著者名 (Author/Editor) | 書籍名 (Title) | 出版社 (Publisher) | 出版年 (Date) | ISBN/ISSN |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Silverman, JH | The Arithmetic of elliptic cuvers, 2nd edition | Springer | 2009 | 9780387094946 |
| 2 | Washington, LC | Elliptic Curves: Number Theory and Crypt. | Chapman and Hall | 2008 | 1420071467 |
| 3 | Milne, J | Elliptic curves | www.jmilne.org/ |
代数学の基礎(「群論入門」「代数学１・２」で習う程度の群論・環論・体論)とガロア理論の初歩は必須である。