日本語 English
| 開講年度/ Academic YearAcademic Year |
20232023 |
| 科目設置学部/ CollegeCollege |
理学部/College of ScienceCollege of Science |
| 科目コード等/ Course CodeCourse Code |
CA456/CA456CA456 |
| テーマ・サブタイトル等/ Theme・SubtitleTheme・Subtitle |
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| 授業形態/ Class FormatClass Format |
対面（全回対面）/Face to face (all classes are face-to-face)Face to face (all classes are face-to-face) |
| 校地/ CampusCampus |
池袋/IkebukuroIkebukuro |
| 学期/ SemesterSemester |
秋学期/Fall semesterFall semester |
| 曜日時限・教室/ DayPeriod・RoomDayPeriod・Room |
月2･4339/Mon.2･4339 Mon.2･4339 |
| 単位/ CreditCredit |
22 |
| 科目ナンバリング/ Course NumberCourse Number |
MAT3120 |
| 使用言語/ LanguageLanguage |
日本語/JapaneseJapanese |
| 備考/ NotesNotes |
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| テキスト用コード/ Text CodeText Code |
CA456 |
In "Algebra 3", the goal is (1) to understand field theory and Galois theory in arbitrary characteristic, (2) to understand the relationship between solutions of polynomial equations and Galois theory, and understand infinite Galois extensions.
There are formulas to express solutions of polynomials in degrees at most four. However, it was proved in the 19th century by Abel that there is no algebraic formula for the solutions of a general polynomials in degrees at least five. In this lecture we discuss the solutions of polynomials in degree 3 and 4, and explain the proof of Abel's theorem. After this, the notaion of separable and inseparable extensions will be introduced to develop Galois theory in arbitrary characteristic. Using Galois theory, it will be explained how one can give a criterion for the solutions of polynomial equations in terms of the Galois group.
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この「代数学3」では，(1) 標数が 0 でない場合も含めて一般化されたガロアの理論を理解する，(2) 方程式の解法にガロアの理論がどのように応用されるかを理解する， (3)無限がロア拡大を理解することを目標とする
In "Algebra 3", the goal is (1) to understand field theory and Galois theory in arbitrary characteristic, (2) to understand the relationship between solutions of polynomial equations and Galois theory, and understand infinite Galois extensions.
４次以下の代数方程式には解の公式が知られているが，それとは対照的に，一般の５次方程式には（代数的な）解の公式が存在しないことが19世紀の数学者アーベルによって証明されている。この講義の前半では，３次と４次の代数方程式に対するラグランジュの解法を復習した後，アーベルの定理を証明する。次に，体の拡大の分離性，非分離性について説明し，ガロア理論を標数が 0 でない場合も含めて展開する。さらに，ガロア理論を用いて，代数方程式が代数的に解けるための必要十分条件を与えるガロアの定理を証明する。
There are formulas to express solutions of polynomials in degrees at most four. However, it was proved in the 19th century by Abel that there is no algebraic formula for the solutions of a general polynomials in degrees at least five. In this lecture we discuss the solutions of polynomials in degree 3 and 4, and explain the proof of Abel's theorem. After this, the notaion of separable and inseparable extensions will be introduced to develop Galois theory in arbitrary characteristic. Using Galois theory, it will be explained how one can give a criterion for the solutions of polynomial equations in terms of the Galois group.
| 1 | 対称式と交代式 |
| 2 | ３次方程式の解法 |
| 3 | 4次方程式の解法 |
| 4 | 方程式のベキ根による解法 I |
| 5 | 方程式のベキ根による解法 II, 小テスト |
| 6 | 方程式のベキ根による解法 III |
| 7 | 分離拡大，正規拡大 |
| 8 | ガロア理論の基本定理 |
| 9 | 無限がロア拡大 |
| 10 | 無限がロア拡大 II、小テスト |
| 11 | 超越拡大 |
| 12 | トレースとノルム |
| 13 | クンマー拡大 |
| 14 | 最終テスト |
授業中に指示する。
| 種類 (Kind) | 割合 (%) | 基準 (Criteria) |
|---|---|---|
| 平常点 (In-class Points) | 100 |
授業内小テスト ２回 (Test) (60%) 最終テスト(Final Test)(40%) |
| 備考 (Notes) | ||
なし/None
| No | 著者名 (Author/Editor) | 書籍名 (Title) | 出版社 (Publisher) | 出版年 (Date) | ISBN/ISSN |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | デイヴィッド・A. コックス | 『ガロワ理論(上)』 | 日本評論社 | 2008 | 9784535784543 |
| 2 | デイヴィッド・A. コックス | 『ガロワ理論(下)』 | 日本評論社 | 2010 | 9784535784550 |
| 3 | 雪江明彦 | 『代数学２環と体とガロア理論』 | 日本評論社 | 2010 | 9784535786608 |
| 4 | 酒井文雄 | 『環と体の理論』 | 共立出版 | 1997 | 9784320015609 |